2022年CUMCM C题：古代玻璃制品的成分分析与鉴别

问题一：化学成分统计规律分析

处理方法：

1. 数据预处理：

   • 使用随机森林算法填补缺失值
   • 剔除无用数据
   • 采用极差化方法进行去量纲处理

2. 风化相关性分析：

   • 使用卡方检验和斯皮尔曼相关系数分析
   • 发现风化只与类型和颜色具有相关性

3. 化学成分统计规律建模：

   • 诊断数据存在强多重共线性
   • 建立岭回归分析预测模型
   • 求解出化学成分之间的函数关系式
   • 按照玻璃分类共得到30条岭回归方程

核心代码特点：

• 使用岭回归处理多重共线性问题
• 为每种化学成分建立预测方程
• 考虑了风化因素对化学成分的影响

问题二：玻璃亚类划分

处理方法：

1. 亚类定义：

   • 借鉴生物分类法中的"亚"种群分类思想
   • 分别对高钾和铅钡两种玻璃类型进行亚类分析

2. 聚类分析：

   • 使用K-means++算法
   • 通过肘部法和轮廓系数确定最优聚类数
   • 最终确定：高钾玻璃K=4，铅钡玻璃K=6

3. BP神经网络训练：

   • 将K-means++聚类结果作为类别标签
   • 使用遗传算法进行超参数寻优
   • 采用5折交叉验证评估模型泛化能力
   • 对铅钡玻璃使用随机过采样策略处理类别不平衡

模型评估结果：

• 高钾玻璃：各项指标均为1.0
• 铅钡玻璃：交叉验证准确率0.95，其他指标接近1.0

问题三：未知玻璃类型鉴别

处理方法：

1. 数据填补：

   • 使用随机森林算法填补缺失值
   • 将填补后的表单2与包含缺失值的表单3进行连表
   • 增加填补值的可靠性

2. 集成学习模型：

   • 组合7个模型：LGBMClassifier、LogisticRegression、AdaBoostClassifier、StackingClassifier、RandomForestClassifier、SVC、GradientBoostingClassifier
   • 使用StackingCVClassifier进行模型集成
   • 设置五折交叉验证评估泛化能力
   • 采用软投票法进行最终预测

3. 模型优化：

   • 使用Exhaustive search进行超参数寻优
   • 通过加权平均集合提高模型性能
   • 使用进化采样缓解类别不平衡问题

预测结果：

• 所有模型在数据集上表现完美（准确率、精确率、召回率、F1值均为1.0）
• 对表单3的预测置信度较高，说明模型具有良好的泛化能力

问题四：关联规则分析

处理方法：

1. 数据分级：

   • 第一级：高钾和铅钡分类
   • 第二级：是否风化分类

2. 关联分析：

   • 使用灰色关联分析模型
   • 分析四类样本群中各个成分之间的关联关系
   • 进行多配对Friedman检测和Nemenyi事后检测
   • 得到各成分之间的差异性分析结果

3. 频繁模式挖掘：

   • 使用FP-Growth算法
   • 挖掘化学成分之间的频繁模式

模型优势：

• 计算量小，能快速完成关联分析
• 适用范围广，模型多样性强
• 结果与定性分析较为符合

整体技术特点

1. 数据处理：随机森林填补、标准化、去量纲
2. 机器学习：岭回归、K-means++、BP神经网络、集成学习
3. 优化算法：遗传算法、穷举搜索
4. 评估方法：交叉验证、多种评估指标
5. 统计分析：卡方检验、相关系数分析、灰色关联分析

这个国二代码展现了完整的数学建模流程，从数据预处理到模型建立再到结果分析，每个问题都有针对性的解决方案，体现了较强的数学建模能力和编程实现水平。