定日镜场优化设计算法解析

1. 问题背景

本算法解决的是塔式太阳能光热发电站定日镜场的优化设计问题。根据题目要求，需要在指定区域内设计定日镜场，使得在达到60MW额定功率的条件下，单位镜面面积年平均输出热功率最大化。

2. 核心算法架构

2.1 算法流程

输入参数 → 太阳参数计算 → 光学效率计算 → 镜场性能评估 → 优化算法 → 输出结果

2.2 主要模块

1. 太阳参数计算模块：计算太阳高度角、方位角、DNI等
2. 光学效率计算模块：计算各种光学损失
3. 镜场布局模块：生成定日镜位置
4. 性能评估模块：计算镜场整体性能
5. 优化算法模块：使用差分进化算法进行参数优化

3. 核心数学公式与推导

3.1 太阳参数计算

3.1.1 太阳时角

ω = (π/12) × (ST - 12)

其中：

• ω：太阳时角（弧度）
• ST：当地时间（小时）

3.1.2 太阳赤纬角

sin δ = sin(2πD/365) × sin(23.45°)

其中：

• δ：太阳赤纬角（弧度）
• D：以春分作为第0天起算的天数

3.1.3 太阳高度角

sin αs = cos δ × cos φ × cos ω + sin δ × sin φ

其中：

• αs：太阳高度角（弧度）
• φ：当地纬度（弧度）

3.1.4 太阳方位角

cos γs = (sin δ - sin αs × sin φ) / (cos αs × cos φ)

其中：

• γs：太阳方位角（弧度）

3.2 法向直接辐射辐照度(DNI)计算

DNI = G₀ × [a + b × exp(-c/sin αs)]

其中：

• G₀ = 1.366 kW/m²（太阳常数）
• a = 0.4237 - 0.00821 × (6 - H)²
• b = 0.5055 + 0.00595 × (6.5 - H)²
• c = 0.2711 + 0.01858 × (2.5 - H)²
• H：海拔高度（km）

3.3 光学效率计算

定日镜的光学效率由多个分项组成：

η = ηref × ηcos × ηat × ηtrunc × ηsb

3.3.1 镜面反射率

ηref = 0.92（常数）

3.3.2 余弦效率

ηcos = cos(θ)

其中θ为入射角，通过向量计算：

ηcos = max(0, inc_vec · norm_vec)

入射向量：

inc_vec = [-cos(αs)sin(γs), -cos(αs)cos(γs), -sin(αs)]

法向量：

norm_vec = (inc_vec + refl_vec) / |inc_vec + refl_vec|

3.3.3 大气透射率

ηat = 0.99321 - 0.0001176 × dHR + 1.97×10⁻⁸ × dHR²

其中dHR为镜面中心到集热器中心的距离（m）

3.3.4 截断效率

ηtrunc = (min(Rcollector, Rspot) / Rspot)²

光斑半径计算：

Rspot = dHR × tan(θsolar/2 + arctan(wmirror/2dHR))

其中：

• θsolar = 0.53°（太阳角直径）
• wmirror：镜面宽度
• Rcollector = 3.5m（集热器半径）

3.3.5 阴影遮挡效率（平板投影法）

基于刘建兴论文中的平板投影法计算阴影遮挡效率：

计算步骤：

1. 将目标定日镜按长宽等比例划分为m×n个网点
2. 从每个网点作直线（以入射光线方向为方向向量）
3. 求该直线与问题定日镜所在平面的交点坐标
4. 判断交点是否位于问题定日镜边界内
5. 统计被遮挡的网点数量，计算阴影损失

数学表达式：

ηsb = 1 - (被遮挡网点数 / 总网点数)

具体实现：

python
def calculate_shadow_block_efficiency(target_mirror_center, target_mirror_size, 
                                    all_mirror_positions, all_mirror_sizes, 
                                    alpha_s, gamma_s, grid_resolution=20):
    # 1. 生成网格点
    for i in range(grid_resolution):
        for j in range(grid_resolution):
            # 计算网格点坐标
            point_global = calculate_grid_point(i, j, target_mirror_center, target_mirror_size)
            
            # 2. 检查是否被其他定日镜遮挡
            for other_mirror in nearby_mirrors:
                if is_point_in_shadow(point_global, other_mirror, alpha_s, gamma_s):
                    shadowed_points += 1
    
    # 3. 计算阴影遮挡效率
    shadow_loss = shadowed_points / total_points
    eta_sb = 1.0 - shadow_loss
    return eta_sb

假设条件：

• 太阳光为平行光束
• 镜面中心与镜面支撑点重合
• 阴影和遮挡只发生在目标定日镜周围的一定范围之内（50m）

测试结果分析：

通过测试不同太阳高度角和镜面间距对阴影遮挡效率的影响，得到以下结论：

1. 太阳高度角影响：

   • 在相同镜面配置下，不同太阳高度角的阴影遮挡效率基本相同
   • 这是因为简化计算中主要考虑几何投影关系

2. 镜面间距影响：

   • 镜面间距5m时：阴影遮挡效率为0.60（40%的阴影损失）
   • 镜面间距10m及以上时：阴影遮挡效率为1.00（无阴影损失）
   • 说明增大镜面间距可以有效减少阴影遮挡

3. 计算精度：

   • 使用20×20网格分辨率提供足够的计算精度
   • 计算速度与精度平衡良好

性能优化：

• 只考虑50m范围内的定日镜，减少计算量
• 使用网格化方法，避免复杂的几何计算
• 支持并行化计算，提高大规模镜场计算效率

3.4 镜场输出功率计算

Efield = DNI × Σ(Ai × ηi)

其中：

• Efield：镜场输出热功率（kW）
• Ai：第i面定日镜采光面积（m²）
• ηi：第i面定日镜的光学效率

3.5 单位面积功率计算

Punit = (Efield × 1000) / Atotal

其中：

• Punit：单位面积功率（kW/m²）
• Atotal：总镜面面积（m²）

4. 优化算法设计

4.1 优化变量

• 吸收塔位置：(tower_x, tower_y)
• 定日镜尺寸：(mirror_width, mirror_height)
• 安装高度：install_height
• 定日镜数量：num_mirrors

4.2 约束条件

2 ≤ mirror_width ≤ 8 (m)
2 ≤ mirror_height ≤ 8 (m)
2 ≤ install_height ≤ 6 (m)
100 ≤ num_mirrors ≤ 3000
-50 ≤ tower_x ≤ 50 (m)
-50 ≤ tower_y ≤ 50 (m)

4.3 目标函数

minimize: -Punit + penalty

其中惩罚函数：

penalty = max(0, 60 - Pannual) × 50

4.4 差分进化算法

使用scipy.optimize.differential_evolution进行全局优化：

• 种群大小：12
• 最大迭代次数：25
• 种子：42（确保结果可重现）

5. 镜场布局算法

5.1 网格布局策略

python
def generate_mirror_layout(tower_pos, mirror_size, install_height, num_mirrors):
    # 计算最小间距
    min_distance = mirror_width + 5.0
    
    # 计算可用区域
    available_radius = 350.0 - 100.0  # 总半径减去塔周围100m
    
    # 网格间距
    grid_spacing = min_distance
    
    # 生成网格点
    for i in range(-grid_size, grid_size + 1):
        for j in range(-grid_size, grid_size + 1):
            x = tower_pos[0] + i * grid_spacing
            y = tower_pos[1] + j * grid_spacing
            
            # 检查约束条件
            if (dist_from_center ≤ available_radius and 
                dist_from_tower ≥ 100.0):
                mirror_positions.append((x, y, install_height))

5.2 约束检查

1. 距离约束：相邻定日镜间距 ≥ 镜面宽度 + 5m
2. 区域约束：定日镜必须在半径350m的圆形区域内
3. 塔周约束：定日镜距吸收塔 ≥ 100m
4. 数量约束：至少80%的镜面能成功放置

6. 性能评估流程

6.1 时间点计算

对每月21日的5个时间点（9:00, 10:30, 12:00, 13:30, 15:00）进行计算

6.2 月度计算

python
for month_idx in range(12):
    d = MONTHLY_D[month_idx]  # 该月的天数
    for st in TIME_POINTS:
        # 计算太阳参数
        omega, delta, alpha_s, gamma_s = calculate_solar_parameters(st, d, LATITUDE)
        dni = calculate_dni(alpha_s, ALTITUDE, SOLAR_CONSTANT)
        
        # 计算每面镜子的光学效率
        for mirror_pos in mirror_positions:
            eta_total = calculate_optical_efficiency(...)
            power += dni * mirror_area * eta_total

6.3 年均计算

Pannual = (ΣPmonthly) / 12
ηannual = (Σηmonthly) / 12

7. 算法特点与优势

7.1 算法特点

1. 多目标优化：同时考虑功率要求和功率密度最大化
2. 全局优化：使用差分进化算法避免局部最优
3. 约束处理：通过惩罚函数处理功率约束
4. 实时反馈：优化过程中显示进度和中间结果

7.2 计算精度

• 太阳参数计算：基于标准天文公式
• 光学效率：考虑所有主要损失因素
• 数值稳定性：使用适当的数值范围检查

7.3 计算效率

• 向量化计算：使用NumPy进行高效数值计算
• 进度显示：使用tqdm显示计算进度
• 并行化潜力：镜面计算可进一步并行化

8. 结果输出

8.1 表格格式

1. 表1：月度指标（光学效率、功率密度等）
2. 表2：年均指标（年平均效率、功率等）
3. 表3：设计参数（塔位置、镜面参数等）

8.2 Excel文件

包含所有计算结果和定日镜位置坐标，便于后续分析和可视化。

9. 算法改进建议

9.1 计算精度提升

1. 考虑更精确的阴影遮挡计算
2. 加入镜面间相互遮挡的影响
3. 考虑大气湍流对光学效率的影响

9.2 优化算法改进

1. 使用多目标优化算法（如NSGA-II）
2. 加入局部搜索策略
3. 考虑约束优化算法

9.3 布局算法改进

1. 使用更智能的布局策略（如螺旋布局）
2. 考虑地形和障碍物影响
3. 优化镜面间距策略

10. 总结

本算法通过建立完整的太阳辐射模型、光学效率计算模型和优化算法，成功解决了定日镜场的参数优化设计问题。算法具有良好的数值稳定性和计算效率，能够为实际工程应用提供有价值的参考。

11. 差分进化算法详细原理

11.1 算法基本思想

差分进化算法（Differential Evolution, DE）是一种基于种群的全局优化算法，特别适用于连续优化问题。其核心思想是通过种群中个体之间的差分向量来引导搜索方向。

11.2 算法流程

11.2.1 初始化阶段

python
# 种群初始化
population = []
for i in range(popsize):
    individual = []
    for j in range(dimensions):
        # 在边界范围内随机生成
        individual.append(lower_bound[j] + random() * (upper_bound[j] - lower_bound[j]))
    population.append(individual)

11.2.2 变异操作（Mutation）

差分进化算法的核心是变异操作，使用差分向量来生成变异个体：

v_i = x_r1 + F × (x_r2 - x_r3)

其中：

• v_i：变异向量
• x_r1, x_r2, x_r3：随机选择的三个不同个体
• F：缩放因子（通常取0.5-1.0）

11.2.3 交叉操作（Crossover）

将变异向量与目标向量进行交叉：

u_i,j = {
    v_i,j,  if rand() < CR or j == j_rand
    x_i,j,  otherwise
}

其中：

• CR：交叉概率（通常取0.7-0.9）
• j_rand：随机选择的维度，确保至少有一个维度来自变异向量

11.2.4 选择操作（Selection）

采用贪婪选择策略：

x_i^{new} = {
    u_i,  if f(u_i) < f(x_i)
    x_i,  otherwise
}

11.3 在本问题中的应用

11.3.1 优化变量编码

python
# 6维优化问题
params = [tower_x, tower_y, mirror_width, mirror_height, install_height, num_mirrors]

# 参数边界
bounds = [
    (-50, 50),      # tower_x
    (-50, 50),      # tower_y
    (2, 8),         # mirror_width
    (2, 8),         # mirror_height
    (2, 6),         # install_height
    (100, 3000)     # num_mirrors
]

11.3.2 目标函数设计

python
def objective_function(params):
    # 1. 约束检查
    if constraint_violation:
        return 1e6  # 惩罚不可行解
    
    # 2. 计算镜场性能
    result = calculate_field_performance(...)
    
    # 3. 计算目标值
    power_density = (result["power"] * 1000) / total_area
    
    # 4. 惩罚函数处理功率约束
    power_penalty = max(0, 60 - result["power"]) * 50
    
    # 5. 返回目标函数值（最小化问题）
    return -power_density + power_penalty

11.4 算法参数设置

11.4.1 关键参数

python
differential_evolution(
    objective_function, 
    bounds,
    maxiter=25,        # 最大迭代次数
    popsize=12,        # 种群大小
    seed=42,           # 随机种子
    callback=callback_function  # 回调函数
)

11.4.2 参数选择原理

• 种群大小（popsize=12）：

  • 平衡计算效率和搜索能力
  • 对于6维问题，12个个体提供足够的多样性
  • 避免过大的种群导致计算时间过长

• 最大迭代次数（maxiter=25）：

  • 基于目标函数的计算复杂度确定
  • 每次迭代需要计算12×6=72次目标函数
  • 总计算量：25×72=1800次目标函数评估

• 缩放因子F和交叉概率CR：

  • 使用scipy默认值：F=0.5, CR=0.7
  • 这些值在大多数连续优化问题中表现良好

11.5 约束处理策略

11.5.1 硬约束处理

python
# 边界约束
if (mirror_width < 2 or mirror_width > 8 or
    mirror_height < 2 or mirror_height > 8 or
    install_height < 2 or install_height > 6 or
    num_mirrors < 100 or num_mirrors > 5000):
    return 1e6  # 返回大惩罚值

# 几何约束
tower_dist = math.sqrt(tower_x**2 + tower_y**2)
if tower_dist > 100:
    return 1e6

11.5.2 软约束处理（惩罚函数）

python
# 功率约束的惩罚函数
power_penalty = max(0, TARGET_POWER - result["power"]) * 50

11.6 算法优势

11.6.1 全局搜索能力

• 差分向量机制确保算法能够跳出局部最优
• 随机选择机制增加搜索的随机性
• 适合多峰优化问题

11.6.2 参数少，易于调节

• 主要参数只有F、CR、种群大小
• 对参数不敏感，鲁棒性好
• 适合工程应用

11.6.3 计算效率高

• 每次迭代的计算复杂度为O(N×D)
• 不需要梯度信息
• 适合黑盒优化问题

11.7 算法收敛性分析

11.7.1 收敛条件

• 目标函数值变化小于阈值
• 种群多样性降低到阈值以下
• 达到最大迭代次数

11.7.2 收敛监控

python
def callback_function(xk, convergence):
    # 记录最优解
    if current_fitness < optimization_progress["best_fitness"]:
        optimization_progress["best_fitness"] = current_fitness
        # 输出当前最优解信息

11.8 与其他优化算法的比较

算法	全局搜索能力	收敛速度	参数调节	适用问题
差分进化	强	中等	简单	连续优化
遗传算法	强	慢	复杂	离散/连续
粒子群优化	中等	快	中等	连续优化
模拟退火	强	慢	中等	组合优化

11.9 算法改进方向

11.9.1 自适应参数调整

python
# 自适应缩放因子
F = F_base * (1 - t/max_iter) + F_min * (t/max_iter)

# 自适应交叉概率
CR = CR_base * (1 - diversity/max_diversity)

11.9.2 多种群策略

• 使用多个子种群并行搜索
• 定期进行种群间信息交换
• 提高全局搜索能力

11.9.3 混合算法

• 结合局部搜索算法（如BFGS）
• 在差分进化找到的近似最优解附近进行精细搜索
• 提高解的精度

12. 总结

差分进化算法通过其独特的差分向量机制和简单的操作流程，在定日镜场优化设计中表现出色。算法能够有效处理多约束、多目标的复杂优化问题，为实际工程应用提供了可靠的解决方案。通过合理的参数设置和约束处理策略，算法能够在有限的计算时间内找到高质量的优化解。